Pagkakaiba sa Pagitan ng Pagsasama at Pagsusuma

2024 May -akda: Alex Aldridge | [email protected]. Huling binago: 2023-12-17 13:52

Integration vs Summation

Sa itaas ng high school mathematics, ang integration at summation ay madalas na makikita sa mathematical operations. Ang mga ito ay tila ginagamit bilang iba't ibang mga tool at sa iba't ibang mga sitwasyon, ngunit sila ay may napakalapit na relasyon.

Higit pa tungkol sa Summation

Ang Summation ay ang operasyon ng pagdaragdag ng pagkakasunod-sunod ng mga numero at ang operasyon ay madalas na tinutukoy ng letrang Griyego ng malaking sigma Σ. Ito ay ginagamit upang paikliin ang kabuuan at katumbas ng kabuuan/kabuuan ng pagkakasunod-sunod. Ang mga ito ay madalas na ginagamit upang kumatawan sa serye, na kung saan ay mahalagang mga walang katapusan na pagkakasunud-sunod na summed up. Magagamit din ang mga ito upang isaad ang kabuuan ng mga vector, matrice, o polynomial.

Ang pagsusuma ay karaniwang ginagawa para sa isang hanay ng mga halaga na maaaring katawanin ng isang pangkalahatang termino, gaya ng isang serye na may karaniwang termino. Ang panimulang punto at ang wakas ng pagbubuod ay kilala bilang lower bound at upper bound ng summation, ayon sa pagkakabanggit.

Halimbawa, ang kabuuan ng sequence a₁, a₂, a₃, a ₄, …, a_n ay isang₁ + a₂ + a ₃ + … + a_n na madaling kinakatawan gamit ang notation ng summation bilang ∑ _i=1 a_{i; ako ay tinatawag na index ng pagbubuod.}

Maraming variation ang ginagamit para sa pagsusuma batay sa application. Sa ilang sitwasyon, ang upper bound at lower bound ay maaaring ibigay bilang interval o range, gaya ng ∑_1≤i≤100 a_i at ∑_{i∈[1, 100]} a_i O maaari itong ibigay bilang isang hanay ng mga numero tulad ng ∑_i∈P a_{i, kung saan ang P ay isang tinukoy na hanay.}

Sa ilang mga kaso, dalawa o higit pang mga palatandaan ng sigma ang maaaring gamitin, ngunit maaari silang gawing pangkalahatan tulad ng sumusunod; ∑_j ∑_k a_jk =∑_{j, k} a _jk.

Gayundin, ang summation ay sumusunod sa maraming algebraic na panuntunan. Dahil ang naka-embed na operasyon ay ang karagdagan, marami sa mga karaniwang tuntunin ng algebra ay maaaring ilapat sa mga kabuuan mismo at para sa mga indibidwal na termino na inilalarawan ng pagsusuma.

Higit pa tungkol sa Integration

Ang pagsasama ay tinukoy bilang ang baligtad na proseso ng pagkita ng kaibhan. Ngunit sa geometric na view nito ay maaari rin itong ituring bilang ang lugar na nakapaloob sa curve ng function at ng axis. Samakatuwid, ang pagkalkula ng lugar ay nagbibigay ng halaga ng isang tiyak na integral gaya ng ipinapakita sa diagram.

Pinagmulan ng Larawan:

Ang halaga ng tiyak na integral ay ang kabuuan ng maliliit na strip sa loob ng curve at ng axis. Ang lugar ng bawat strip ay ang taas×lapad sa punto sa axis na isinasaalang-alang. Ang lapad ay isang halaga na maaari nating piliin, sabihin nating ∆x. At ang taas ay humigit-kumulang sa halaga ng function sa itinuturing na punto, sabihin nating f (x_{i). Mula sa diagram, maliwanag na kung mas maliit ang mga strip ay mas kasya ang mga strips sa loob ng bounded area, kaya mas mahusay ang approximation ng value.}

Kaya, sa pangkalahatan, ang tiyak na integral I, sa pagitan ng mga puntos a at b (ibig sabihin, sa pagitan [a, b] kung saan a<b), ay maaaring ibigay bilang I ≅ f (x_{1)∆x + f (x}2_{)∆x + ⋯ + f (x}n_{)∆x, kung saan ang n ay ang bilang ng mga strip (n=(b-a)/∆x). Ang pagsusuma ng lugar na ito ay madaling mailarawan gamit ang notasyon ng pagsusuma bilang I ≅ ∑}i=1 _{f (x}i)∆x. Dahil mas maganda ang approximation kapag mas maliit ang ∆x, maaari nating kalkulahin ang halaga kapag ∆x→0. Samakatuwid, makatuwirang sabihin na I=lim_∆x→0 ∑ⁱ⁼¹ f (x_i)∆x.

Bilang paglalahat mula sa konsepto sa itaas, maaari nating piliin ang ∆x batay sa itinuturing na interval na na-index ng i (pagpili ng lapad ng lugar batay sa posisyon). Pagkatapos ay makakakuha tayo ng

I=lim_∆x→0 ∑_i=1 f (x i_{) ∆x}i₌a_∫b ^{f (x)dx}

Kilala ito bilang Reimann Integral ng function na f (x) sa pagitan [a, b]. Sa kasong ito, ang a at b ay kilala bilang upper bound at lower bound ng integral. Ang Reimann integral ay isang pangunahing anyo ng lahat ng paraan ng pagsasama.

Sa esensya, ang integration ay ang kabuuan ng lugar kapag ang lapad ng rectangle ay infinitesimal.

Ano ang pagkakaiba ng Integration at Summation?

• Ang pagbubuod ay pagdaragdag ng pagkakasunod-sunod ng mga numero. Karaniwan, ang pagsusuma ay ibinibigay sa form na ito ∑_i=1 a_{i kapag ang mga tuntunin sa pagkakasunod-sunod may pattern at maaaring ipahayag gamit ang pangkalahatang termino.}

• Ang integration ay karaniwang ang lugar na nililimitahan ng curve ng function, ang axis at upper at lower limit. Maaaring ibigay ang lugar na ito bilang kabuuan ng mas maliliit na lugar na kasama sa bounded area.

• Kasama sa pagbubuod ang mga discrete value na may upper at lower bounds, samantalang ang integration ay nagsasangkot ng tuluy-tuloy na value.

• Maaaring bigyang-kahulugan ang pagsasama bilang isang espesyal na anyo ng pagbubuod.

• Sa mga numerical computation na pamamaraan, palaging ginagawa ang pagsasama bilang isang pagsusuma.