Linear vs Nonlinear Differential Equation
Ang isang equation na naglalaman ng hindi bababa sa isang differential coefficient o derivative ng isang hindi kilalang variable ay kilala bilang isang differential equation. Ang isang differential equation ay maaaring maging linear o non-linear. Ang saklaw ng artikulong ito ay ipaliwanag kung ano ang linear differential equation, ano ang nonlinear differential equation, at ano ang pagkakaiba sa pagitan ng linear at nonlinear differential equation.
Mula nang mabuo ang calculus noong ika-18 siglo ng mga mathematician tulad nina Newton at Leibnitz, nagkaroon ng mahalagang papel ang differential equation sa kwento ng matematika. Ang mga differential equation ay may malaking kahalagahan sa matematika dahil sa kanilang hanay ng mga aplikasyon. Ang mga differential equation ay nasa puso ng bawat modelong binuo namin upang ipaliwanag ang anumang senaryo o kaganapan sa mundo maging ito man ay sa physics, engineering, chemistry, statistics, financial analysis, o biology (ang listahan ay walang katapusan). Sa katunayan, hanggang sa naging matatag na teorya ang calculus, hindi magagamit ang mga wastong kasangkapan sa matematika upang pag-aralan ang mga kawili-wiling problema sa kalikasan.
Ang mga resultang equation mula sa isang partikular na aplikasyon ng calculus ay maaaring napakakumplikado at kung minsan ay hindi nalulusaw. Gayunpaman, may mga maaari nating lutasin, ngunit maaaring magkamukha at nakakalito. Samakatuwid, para sa mas madaling pagkilala, ang mga differential equation ay ikinategorya ayon sa kanilang mathematical na pag-uugali. Ang linear at nonlinear ay isa sa gayong pagkakategorya. Mahalagang tukuyin ang pagkakaiba sa pagitan ng mga linear at nonlinear na differential equation.
Ano ang Linear Differential Equation?
Ipagpalagay na ang f: X→Y at f(x)=y, isang differential equation na walang nonlinear terms ng hindi kilalang function na y at ang mga derivatives nito ay kilala bilang linear differential equation.
Ito ay nagpapataw ng kundisyon na ang y ay hindi maaaring magkaroon ng mas matataas na termino ng index gaya ng y2, y3, … at mga multiple ng derivatives tulad ng bilang
Hindi rin ito maaaring maglaman ng mga hindi linear na termino gaya ng Sin y, e y ^-2, o ln y. Kinukuha nito ang form,
kung saan ang y at g ay mga function ng x. Ang equation ay isang differential equation ng order n, na siyang index ng pinakamataas na order derivative.
Sa isang linear differential equation, ang differential operator ay isang linear operator at ang mga solusyon ay bumubuo ng vector space. Bilang resulta ng linear na katangian ng solution set, ang linear na kumbinasyon ng mga solusyon ay isa ring solusyon sa differential equation. Ibig sabihin, kung ang y1 at y2 ay mga solusyon ng differential equation, kung gayon ang C1 y 1+ C2 y2 ay isa ring solusyon.
Ang linearity ng equation ay isang parameter lamang ng classification, at maaari pa itong ikategorya sa homogenous o non-homogenous at ordinaryo o partial differential equation. Kung ang function ay g=0 kung gayon ang equation ay isang linear homogenous differential equation. Kung ang f ay function ng dalawa o higit pang independent variable (f: X, T→Y) at f(x, t)=y, ang equation ay isang linear partial differential equation.
Ang paraan ng solusyon para sa differential equation ay nakadepende sa uri at mga coefficient ng differential equation. Ang pinakamadaling kaso ay lumitaw kapag ang mga coefficient ay pare-pareho. Ang klasikong halimbawa para sa kasong ito ay ang pangalawang batas ng paggalaw ni Newton at ang iba't ibang mga aplikasyon nito. Ang pangalawang batas ni Newton ay gumagawa ng pangalawang order na linear differential equation na may pare-parehong coefficient.
Ano ang Nonlinear Differential Equation?
Ang mga equation na naglalaman ng nonlinear terms ay kilala bilang non-linear differential equation.
Lahat sa itaas ay mga nonlinear differential equation. Ang mga nonlinear na differential equation ay mahirap lutasin, samakatuwid, ang malapit na pag-aaral ay kinakailangan upang makakuha ng tamang solusyon. Sa kaso ng mga partial differential equation, karamihan sa mga equation ay walang pangkalahatang solusyon. Samakatuwid, ang bawat equation ay kailangang tratuhin nang nakapag-iisa.
Navier-Stokes equation at Euler's equation sa fluid dynamics, ang mga field equation ng general relativity ni Einstein ay kilalang nonlinear partial differential equation. Minsan ang paggamit ng Lagrange equation sa isang variable system ay maaaring magresulta sa isang sistema ng nonlinear partial differential equation.
Ano ang pagkakaiba ng Linear at Nonlinear Differential Equation?
• Ang isang differential equation, na may mga linear terms lamang ng hindi alam o dependent variable at ang mga derivatives nito, ay kilala bilang linear differential equation. Wala itong termino na may dependent variable ng index na mas mataas sa 1 at hindi naglalaman ng anumang multiple ng mga derivatives nito. Hindi ito maaaring magkaroon ng mga nonlinear na function tulad ng trigonometric function, exponential function, at logarithmic function na may kinalaman sa dependent variable. Ang anumang differential equation na naglalaman ng mga terminong nabanggit sa itaas ay isang nonlinear differential equation.
• Ang mga solusyon ng linear differential equation ay lumilikha ng vector space at ang differential operator ay isa ring linear operator sa vector space.
• Ang mga solusyon ng linear differential equation ay medyo madali at may mga pangkalahatang solusyon. Para sa mga nonlinear na equation, sa karamihan ng mga kaso, ang pangkalahatang solusyon ay hindi umiiral at ang solusyon ay maaaring partikular sa problema. Ginagawa nitong mas mahirap ang solusyon kaysa sa mga linear na equation.
