Pagkakaiba sa Pagitan ng Arithmetic Sequence at Geometric Sequence

2024 May -akda: Alex Aldridge | [email protected]. Huling binago: 2024-01-17 23:49

Arithmetic Sequence vs Geometric Sequence

Ang pag-aaral ng mga pattern ng mga numero at ang kanilang pag-uugali ay isang mahalagang pag-aaral sa larangan ng matematika. Kadalasan ang mga pattern na ito ay makikita sa kalikasan at tumutulong sa amin na ipaliwanag ang kanilang pag-uugali sa isang siyentipikong pananaw. Ang mga arithmetic sequence at Geometric na sequence ay dalawa sa mga pangunahing pattern na nangyayari sa mga numero, at kadalasang makikita sa natural na phenomena.

Ang sequence ay isang set ng mga ordered number. Ang bilang ng mga elemento sa sequence ay maaaring maging may hangganan o walang katapusan.

Higit pa tungkol sa Arithmetic Sequence (Arithmetric Progression)

Ang arithmetic sequence ay tinukoy bilang isang sequence ng mga numero na may pare-parehong pagkakaiba sa pagitan ng bawat magkakasunod na termino. Kilala rin ito bilang pag-unlad ng aritmetika.

Arithmetic Sequnece ⇒ a₁, a₂, a_3, a₄ , …, a_n; kung saan a₂ =a₁ + d, a₃ =a_{2+ d, at iba pa.}

Kung ang paunang termino ay isang₁ at ang karaniwang pagkakaiba ay d, ang n^{ika na termino ng sequence ay ibinibigay ng;}

a_n =a_{1 + (n-1)d}

Sa pamamagitan ng pagpapatuloy ng resulta sa itaas, ang n^{th na termino ay maaari ding ibigay bilang;}

a_n =a_m + (n-m)d, kung saan ang a_{m ay isang random na termino sa pagkakasunod-sunod na n > m.}

Ang hanay ng mga even na numero at ang hanay ng mga kakaibang numero ay ang pinakasimpleng halimbawa ng mga arithmetic sequence, kung saan ang bawat sequence ay may karaniwang pagkakaiba (d) na 2.

Ang bilang ng mga termino sa isang sequence ay maaaring maging infinite o may hangganan. Sa infinite case (n → ∞), ang sequence ay may posibilidad na infinity depende sa karaniwang pagkakaiba (a_{n → ±∞). Kung positibo ang karaniwang pagkakaiba (d > 0), ang sequence ay may posibilidad na positibong infinity at, kung negatibo ang karaniwang pagkakaiba (d < 0), ito ay may posibilidad na negatibong infinity. Kung may hangganan ang mga termino, may hangganan din ang sequence.}

Ang kabuuan ng mga termino sa arithmetic sequence ay kilala bilang serye ng arithmetic: S_n=a₁ + a ₂ + a₃ + a₄ + ⋯ + a_n =∑ i=1→n _ai; _{at S}n_{=(n/2) (a}1 _{+ a}n_{)=(n/2) [2a}1 _{+ (n-1)d] ay nagbibigay ng halaga ng serye (S}n)

Higit pa tungkol sa Geometric Sequence (Geometric Progression)

Ang isang geometric na sequence ay tinukoy bilang isang sequence kung saan ang quotient ng alinmang dalawang magkasunod na termino ay pare-pareho. Ito ay kilala rin bilang geometric progression.

Geometric sequence ⇒ a₁, a₂, a₃, a₄ , …, a_n; kung saan a₂/a₁=r, a₃/a_{2=r, at iba pa, kung saan ang r ay isang tunay na numero.}

Mas madaling katawanin ang geometric sequence gamit ang karaniwang ratio (r) at ang inisyal na termino (a). Kaya ang geometric na sequence ⇒ a₁, a₁r, a₁r^{2, a}1_r3^{, …, a}1_rn-1.

Ang pangkalahatang anyo ng n^th termino na ibinigay ng a_n =a₁r ^n-1. (Nawawala ang subscript ng paunang termino ⇒ a_n =ar^n-1)

Ang geometric na sequence ay maaari ding maging may hangganan o walang katapusan. Kung ang bilang ng mga termino ay may hangganan, ang pagkakasunod-sunod ay sinasabing may hangganan. At kung ang mga termino ay walang hanggan, ang pagkakasunod-sunod ay maaaring maging walang hanggan o may hangganan depende sa ratio r. Ang karaniwang ratio ay nakakaapekto sa marami sa mga katangian sa mga geometric na sequence.

r > o	0 < r < +1	Nagtatagpo ang sequence – exponential decay, ibig sabihin, an → 0, n → ∞
	r=1	Patuloy na pagkakasunud-sunod, ibig sabihin, an=pare-pareho
	r > 1	Nag-iiba ang Sequence – exponential growth, i.e. an → ∞, n → ∞
r < 0	-1 < r < 0	Nag-o-oscillating ang sequence, ngunit nagtatagpo
	r=1	Ang pagkakasunod-sunod ay papalit-palit at pare-pareho, ibig sabihin, an=±constant
	r < -1	Ang pagkakasunod-sunod ay papalit-palit at nag-iiba. ibig sabihin, an → ±∞, n → ∞
r=0	Ang sequence ay isang string ng mga zero

N. B: Sa lahat ng kaso sa itaas, a₁ > 0; kung a₁ < 0, ang mga sign na nauugnay sa a_{n ay mababaligtad.}

Ang agwat ng oras sa pagitan ng mga bounce ng bola ay sumusunod sa isang geometric na sequence sa perpektong modelo, at ito ay isang convergent sequence.

Ang kabuuan ng mga termino ng geometric sequence ay kilala bilang isang geometric na serye; S_n =ar+ ar² + ar³ + ⋯ + arⁿ=∑_i=1→n ar^{i. Maaaring kalkulahin ang kabuuan ng geometric series gamit ang sumusunod na formula.}

S_n =a(1-r^{)/(1-r); kung saan ang a ay ang paunang termino at ang r ay ang ratio.}

Kung ang ratio, r ≤ 1, ang serye ay nagtatagpo. Para sa isang walang katapusang serye, ang halaga ng convergence ay ibinibigay ng S_n=a/(1-r)

Ano ang pagkakaiba ng Arithmetic at Geometric Sequence/Progression?

• Sa isang arithmetic sequence, anumang dalawang magkasunod na termino ay may karaniwang pagkakaiba (d) habang, sa geometric sequence, anumang dalawang magkasunod na termino ay may pare-parehong quotient (r).

• Sa isang arithmetic sequence, linear ang variation ng mga termino, ibig sabihin, maaaring gumuhit ng isang tuwid na linya na dumadaan sa lahat ng mga punto. Sa isang geometric na serye, ang variation ay exponential; lumalaki man o nabubulok batay sa karaniwang ratio.

• Lahat ng infinite arithmetic sequence ay divergent, samantalang ang infinite geometric series ay maaaring maging divergent o convergent.

• Ang geometric series ay maaaring magpakita ng oscillation kung ang ratio r ay negatibo habang ang arithmetic series ay hindi nagpapakita ng oscillation