Pagkakaiba sa Pagitan ng Arithmetic at Geometric Series

2024 May -akda: Alex Aldridge | [email protected]. Huling binago: 2023-12-17 13:52

Arithmetic vs Geometric Series

Ang mathematical na kahulugan ng isang serye ay malapit na nauugnay sa mga sequence. Ang isang sequence ay isang nakaayos na hanay ng mga numero at maaaring maging isang may hangganan o isang walang katapusan na hanay. Ang pagkakasunod-sunod ng mga numero na may pagkakaiba sa pagitan ng dalawang elemento bilang isang pare-pareho ay kilala bilang isang pag-unlad ng aritmetika. Ang isang sequence na may pare-parehong quotient ng dalawang magkakasunod na numero ay kilala bilang isang geometric progression. Ang mga pag-usad na ito ay maaaring may hangganan o walang hanggan, at kung may hangganan, ang bilang ng mga termino ay mabibilang, kung hindi, hindi mabibilang.

Sa pangkalahatan, ang kabuuan ng mga elemento sa isang progression ay maaaring tukuyin bilang isang serye. Ang kabuuan ng isang arithmetic progression ay kilala bilang isang arithmetic series. Gayundin, ang kabuuan ng isang geometric na progression ay kilala bilang isang geometric na serye.

Higit pa tungkol sa Arithmetic Series

Sa isang serye ng aritmetika, ang magkakasunod na termino ay may palaging pagkakaiba.

S_n =a₁ + a₂ + a_{3+ a}4 _{+⋯+ a}n _=∑i=1_ai_{; kung saan a}2 _=a1 _{+ d, a}3 _=a2 _{+ d, at iba pa.}

Ang pagkakaibang ito d ay kilala bilang karaniwang pagkakaiba, at ang n^th na termino ay ibinibigay ng isang_n =a ₁+ (n-1)d; kung saan a_{1 ang unang termino.}

Nagbabago ang gawi ng serye batay sa karaniwang pagkakaiba d. Kung positibo ang karaniwang pagkakaiba, malamang na positibo ang pag-unlad, at kung negatibo ang karaniwang pagkakaiba, ito ay patungo sa negatibong infinity.

Ang kabuuan ng serye ay maaaring makuha sa pamamagitan ng sumusunod na simpleng formula, na unang binuo ng Indian astronomer at mathematician na si Aryabhata.

S_n =n/2 (a₁+ a_n)=n/2 [2a_{1 + (n-1)d]}

Ang kabuuan na S_{n ay maaaring maging may hangganan o walang katapusan, batay sa bilang ng mga termino.}

Higit pa tungkol sa Geometric Series

Ang geometric na serye ay isang serye na may quotient ng magkakasunod na numero na pare-pareho. Isa itong Mahalagang serye na matatagpuan sa pag-aaral ng serye, dahil sa mga katangiang taglay nito.

S_n =ar + ar² + ar³ +⋯+ ar ⁿ =∑_i=1 arⁱ

Batay sa ratio r, maaaring ikategorya ang gawi ng serye bilang mga sumusunod. r={|r|≥1 serye ay nag-iiba; r≤1 serye ay nagtatagpo}. Gayundin, kung ang r<0 ay nag-o-oscillate, ibig sabihin, ang serye ay may mga alternating value.

Ang kabuuan ng geometric na serye ay maaaring kalkulahin gamit ang sumusunod na formula. S_n =a(1-r) / (1-r); kung saan ang a ay ang paunang termino at ang r ay ang ratio. Kung ang ratio r≤1, ang serye ay nagtatagpo. Para sa isang walang katapusang serye, ang halaga ng convergence ay ibinibigay ng S_{n=a / (1-r).}

Maraming aplikasyon ang geometric series sa larangan ng physical sciences, engineering, at economics

Ano ang pagkakaiba ng Arithmetic at Geometric Series?

• Ang serye ng aritmetika ay isang serye na may pare-parehong pagkakaiba sa pagitan ng dalawang magkatabing termino.

• Ang geometric na serye ay isang serye na may pare-parehong quotient sa pagitan ng dalawang magkakasunod na termino.

• Ang lahat ng infinite arithmetic series ay palaging divergent, ngunit depende sa ratio, ang geometric series ay maaaring convergent o divergent.

• Maaaring magkaroon ng oscillation ang geometric series sa mga value; ibig sabihin, ang mga numero ay nagbabago ng kanilang mga senyales bilang alternatibo, ngunit ang arithmetic series ay hindi maaaring magkaroon ng oscillations.