Derivative vs Differential
Sa differential calculus, ang derivative at differential ng isang function ay malapit na magkaugnay ngunit may ibang kahulugan, at ginagamit upang kumatawan sa dalawang mahalagang mathematical object na nauugnay sa differentiable function.
Ano ang derivative?
Derivative ng isang function ay sumusukat sa rate kung saan nagbabago ang halaga ng function habang nagbabago ang input nito. Sa mga multi-variable na function, ang pagbabago sa value ng function ay depende sa direksyon ng pagbabago ng mga value ng independent variable. Samakatuwid, sa ganitong mga kaso, ang isang tiyak na direksyon ay pinili at ang function ay naiiba sa partikular na direksyon. Ang derivative na iyon ay tinatawag na directional derivative. Ang mga partial derivative ay isang espesyal na uri ng directional derivatives.
Derivative ng isang vector-valued function na f ay maaaring tukuyin bilang limitasyon [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] saanman ito umiiral nang walang katapusan. Gaya ng nabanggit kanina, binibigyan tayo nito ng rate ng pagtaas ng function f kasama ang direksyon ng vector u. Sa kaso ng isang single-valued function, binabawasan nito ang kilalang kahulugan ng derivative, [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
Halimbawa, ang [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] ay naiba-iba sa lahat ng dako, at ang derivative ay katumbas ng limitasyon, [latex]\\lim_{h \\to 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], na katumbas ng [latex]3x^{2}+4[/latex]. Ang mga derivatives ng mga function tulad ng [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] ay umiiral kahit saan. Ang mga ito ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng mga function [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex].
Kilala ito bilang unang derivative. Karaniwan ang unang derivative ng function na f ay tinutukoy ng f (1) Ngayon gamit ang notasyong ito, posibleng tukuyin ang mga derivatives ng mas mataas na pagkakasunud-sunod. [latex]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f Ang ^{(1)}(x)}{h}[/latex] ay ang pangalawang order na directional derivative, at tumutukoy sa n th derivative ng f (n) para sa bawat n, [latex]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], tinutukoy ang n th derivative.
Ano ang differential?
Ang
Differential ng isang function ay kumakatawan sa pagbabago sa function na may kinalaman sa mga pagbabago sa independent variable o mga variable. Sa karaniwang notasyon, para sa isang ibinigay na function f ng isang variable x, ang kabuuang pagkakaiba ng order 1 df ay ibinibigay ng, [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex]. Nangangahulugan ito na para sa isang infinitesimal na pagbabago sa x (i.e. d x), magkakaroon ng f (1)(x)d x pagbabago sa f.
Paggamit ng mga limitasyon ay maaaring mauwi sa kahulugang ito tulad ng sumusunod. Ipagpalagay na ang ∆ x ay ang pagbabago sa x sa isang di-makatwirang punto x at ang ∆ f ay ang kaukulang pagbabago sa function na f. Maaaring ipakita na ∆ f=f (1)(x)∆ x + ϵ, kung saan ϵ ang error. Ngayon, ang limitasyon ∆ x→ 0∆ f / ∆ x =f (1)(x) (gamit ang naunang nakasaad na kahulugan ng derivative) at sa gayon, ∆ x→ 0 ϵ/ ∆ x=0. Samakatuwid, posible na tapusin na, ∆ x→ 0 ϵ=0. Ngayon, tinutukoy ang ∆ x→ 0 ∆ f bilang d f at ∆ x→ 0 ∆ x bilang d x ang kahulugan ng differential ay mahigpit na nakuha.
Halimbawa, ang differential ng function na [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] ay [latex](3x^{2}+4)dx[/latex].
Sa kaso ng mga function ng dalawa o higit pang mga variable, ang kabuuang differential ng isang function ay tinukoy bilang ang kabuuan ng mga differential sa mga direksyon ng bawat isa sa mga independent variable. Sa matematika, maaari itong sabihin bilang [latex]df=\\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i}[/latex].
Ano ang pagkakaiba ng derivative at differential?
• Ang derivative ay tumutukoy sa isang rate ng pagbabago ng isang function samantalang ang differential ay tumutukoy sa aktwal na pagbabago ng function, kapag ang independent variable ay napapailalim sa pagbabago.
• Ang derivative ay ibinibigay ng [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \to 0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{ h}[/latex], ngunit ang pagkakaiba ay ibinibigay ng [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex].
