Laplace vs Fourier Transforms
Parehong Laplace transform at Fourier transform ay integral transforms, na pinakakaraniwang ginagamit bilang matematikal na mga pamamaraan upang malutas ang mathematically modelled physical system. Simple lang ang proseso. Ang isang kumplikadong modelo ng matematika ay na-convert sa isang mas simple, nalulusaw na modelo gamit ang isang integral na pagbabago. Kapag nalutas na ang mas simpleng modelo, ilalapat ang inverse integral transform, na magbibigay ng solusyon sa orihinal na modelo.
Halimbawa, dahil ang karamihan sa mga pisikal na sistema ay nagreresulta sa mga differential equation, maaari silang ma-convert sa mga algebraic equation o sa mas mababang antas na madaling malulutas na differential equation gamit ang integral transform. Pagkatapos ay magiging mas madali ang paglutas sa problema.
Ano ang pagbabago ng Laplace?
Dahil sa isang function na f (t) ng isang tunay na variable t, ang Laplace transform nito ay tinukoy ng integral [latex] F(s)=\\int_{0}^{ \\infty} e^{- st}f(t)dt [/latex] (sa tuwing mayroon ito), na isang function ng isang kumplikadong variable s. Ito ay karaniwang tinutukoy ng L { f (t)}. Ang inverse na pagbabagong-anyo ng Laplace ng isang function na F (s) ay itinuturing na function na f (t) sa paraang L { f (t)}=F (s), at sa karaniwang mathematical notation na isinusulat natin, L-1{ F (s)}=f (t). Ang inverse transform ay maaaring gawing kakaiba kung ang mga null function ay hindi pinapayagan. Makikilala ng isa ang dalawang ito bilang mga linear na operator na tinukoy sa espasyo ng pag-andar, at madali ding makita na, L -1{ L { f (t)}}=f (t), kung hindi pinapayagan ang mga null function.
Inililista ng sumusunod na talahanayan ang mga pagbabago sa Laplace ng ilan sa mga pinakakaraniwang function.
Ano ang Fourier transform?
Dahil sa isang function na f (t) ng isang tunay na variable t, ang pagbabagong Laplace nito ay tinukoy ng integral [latex] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\ pi}} \int_{- \\infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex] (sa tuwing mayroon), at kadalasang tinutukoy ng F { f (t)}. Ang inverse transform F -1{ F (α)} ay ibinibigay ng integral [latex] f(t)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi }}\\int_{- \\infty}^{\infty} e^{-i \\ alpha t}F(\alpha)d\\alpha [/latex]. Ang Fourier transform ay linear din, at maaaring ituring bilang isang operator na tinukoy sa function space.
Gamit ang Fourier transform, ang orihinal na function ay maaaring isulat tulad ng sumusunod basta't ang function ay may hangganan lamang na bilang ng mga discontinuities at ganap na maisasama.
Ano ang pagkakaiba ng Laplace at Fourier Transforms?
- Fourier transform ng isang function na f (t) ay tinukoy bilang [latex] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi}} \int_{- / \infty}^{\infty} e^{i \\ alpha t}f(t)dt [/latex], samantalang ang laplace transform nito ay tinukoy bilang [latex] F(s)=\\int_{ 0}^{ \\infty} e^{-st}f(t)dt [/latex].
- Fourier transform ay tinukoy lamang para sa mga function na tinukoy para sa lahat ng tunay na numero, samantalang ang Laplace transform ay hindi nangangailangan ng function na tukuyin sa set ng mga negatibong tunay na numero.
- Fourier transform ay isang espesyal na kaso ng Laplace transform. Ito ay makikita na ang parehong coincide para sa hindi negatibong tunay na mga numero. (ibig sabihin, kunin ang s sa Laplace upang maging iα + β kung saan ang α at β ay totoo na ang e β=1/ √(2ᴫ))
- Bawat function na may Fourier transform ay magkakaroon ng Laplace transform ngunit hindi vice-versa.
Ang
