Power Series vs Taylor Series
Sa matematika, ang totoong sequence ay isang nakaayos na listahan ng mga totoong numero. Sa pormal, ito ay isang function mula sa hanay ng mga natural na numero hanggang sa hanay ng mga tunay na numero. Kung ang an ay ang nth na termino ng isang sequence, tinutukoy namin ang sequence ng o ng 1, isang 2, …, an, …. Halimbawa, isaalang-alang ang sequence 1, ½, ⅓, …, 1 / n, …. Maaari itong tukuyin bilang {1/n}.
Posibleng tumukoy ng serye gamit ang mga sequence. Ang isang serye ay ang kabuuan ng mga tuntunin ng isang sequence. Samakatuwid, para sa bawat sequence, mayroong nauugnay na sequence at vice-versa. Kung {an} ang sequence na isinasaalang-alang, kung gayon, ang serye na nabuo ng sequence na iyon ay maaaring katawanin bilang:
Kaya, sa halimbawa sa itaas, ang nauugnay na serye ay 1+1/2+1 /3+ … + 1/ n + ….
Tulad ng iminumungkahi ng mga pangalan, ang power series ay isang espesyal na uri ng serye at ito ay malawakang ginagamit sa Numerical Analysis at nauugnay na mathematical modelling. Ang serye ng Taylor ay isang espesyal na serye ng kapangyarihan na nagbibigay ng alternatibo at madaling manipulahin na paraan ng kumakatawan sa mga kilalang function.
Ano ang Power series?
Ang power series ay isang serye ng form
na convergent (posible) para sa ilang pagitan na nakasentro sa c. Ang mga coefficient na anay maaaring maging totoo o kumplikadong mga numero, at hindi nakasalalay sa x; ibig sabihin, ang dummy variable.
Halimbawa, sa pamamagitan ng pagtatakda ng n=1 para sa bawat n, at c=0, ang power series na 1+x+x2 +…..+ x+… ay nakuha. Madaling obserbahan na kapag x ε (-1, 1), ang power series na ito ay nagko-convert sa 1/(1-x).
Ang isang power series ay nagtatagpo kapag x=c. Ang iba pang mga halaga ng x kung saan nagtatagpo ang serye ng kapangyarihan ay palaging nasa anyo ng isang bukas na agwat na nakasentro sa c. Ibig sabihin, magkakaroon ng value na 0≤ R ≤ ∞ na para sa bawat x na nagbibigay-kasiyahan |x-c|≤ R, ang power series ay convergent at para sa bawat x satisfying |x-c|> R, ang power series ay divergent. Ang halagang R na ito ay tinatawag na radius ng convergence ng power series (R ay maaaring tumagal ng anumang tunay na halaga o positibong infinity).
Power series ay maaaring idagdag, ibawas, i-multiply at hatiin gamit ang mga sumusunod na panuntunan. Isaalang-alang ang dalawang power series:
Pagkatapos,
i.e. ang mga katulad na termino ay idinaragdag o ibinabawas nang magkasama. Gayundin, posibleng i-multiply at hatiin ang dalawang serye ng kapangyarihan gamit ang pagkakakilanlan,
Ano ang Taylor series?
Ang Taylor series ay tinukoy para sa isang function na f (x) na walang katapusang pagkakaiba sa isang pagitan. Ipagpalagay na ang f (x) ay naiba sa pagitan na nakasentro sa c. Pagkatapos ay ang power series na ibinibigay ng
Ang
ay tinatawag na Taylor series expansion ng function na f (x) tungkol sa c. (Dito ang f(n) (c) ay tumutukoy sa nika derivative sa x=c). Sa Numerical Analysis, ang isang may hangganang bilang ng mga termino sa walang katapusang pagpapalawak na ito ay ginagamit sa pagkalkula ng mga halaga sa mga punto kung saan ang serye ay nagtatagpo sa orihinal na function.
Ang
A function na f (x) ay sinasabing analytic sa interval (a, b), kung para sa bawat x ε (a, b), ang Taylor series ng f (x) ay nagtatagpo sa function na f (x). Halimbawa, ang 1/(1-x) ay analytic sa (-1, 1), dahil ang Taylor expansion nito ay 1+x+x2+….+ x Ang +… ay nagko-convert sa function sa interval na iyon, at ang ex ay analytic sa lahat ng dako, dahil ang Taylor series ng ex ay nagtatagpo sa e x para sa bawat totoong numerong x.
Ano ang pagkakaiba ng Power series at Taylor series?
1. Ang Taylor series ay isang espesyal na klase ng power series na tinukoy lamang para sa mga function na walang katapusan na pagkakaiba sa ilang bukas na pagitan.
2. Ang serye ng Taylor ay may espesyal na anyo
samantala, ang power series ay maaaring maging anumang serye ng anyo
