Associative vs Commutative
Sa ating pang-araw-araw na buhay, kailangan nating gumamit ng mga numero sa tuwing kailangan nating kumuha ng sukatan ng isang bagay. Sa grocery store, sa gasolinahan, at kahit sa kusina, kailangan nating magdagdag, magbawas, at magparami ng dalawa o higit pang dami. Mula sa aming pagsasanay, ginagawa namin ang mga kalkulasyong ito nang walang kahirap-hirap. Hindi namin napapansin o tinatanong kung bakit namin ginagawa ang mga operasyong ito sa partikular na paraan. O kung bakit hindi maaaring gawin ang mga kalkulasyong ito sa ibang paraan. Nakatago ang sagot sa paraan ng pagtukoy sa mga operasyong ito sa larangan ng matematika ng algebra.
Sa algebra, ang isang operasyon na kinasasangkutan ng dalawang dami (tulad ng karagdagan) ay tinukoy bilang isang binary na operasyon. Mas tiyak na ito ay isang operasyon sa pagitan ng dalawang elemento mula sa isang set at ang mga elementong ito ay tinatawag na 'operand'. Maraming mga operasyon sa matematika kabilang ang mga operasyong aritmetika na nabanggit kanina at ang mga nakatagpo sa set theory, linear algebra, at mathematical logic ay maaaring tukuyin bilang binary operations.
Mayroong isang hanay ng mga namamahala na panuntunan na nauukol sa isang partikular na binary operation. Ang associative at ang commutative properties ay dalawang pangunahing katangian ng binary operations.
Higit pa tungkol sa Commutative Property
Ipagpalagay na ang ilang binary operation, na tinutukoy ng simbolo na ⊗, ay ginagawa sa mga elementong A at B. Kung ang pagkakasunud-sunod ng mga operand ay hindi nakakaapekto sa resulta ng operasyon, kung gayon ang operasyon ay sinasabing commutative. ibig sabihin, kung A ⊗ B=B ⊗ A ang operasyon ay commutative.
Ang pagdaragdag at pagpaparami ng mga pagpapatakbo ng aritmetika ay commutative. Ang pagkakasunud-sunod ng mga numerong idinagdag o pinarami nang magkasama ay hindi makakaapekto sa huling sagot:
A + B=B + A ⇒ 4 + 5=5 + 4=9
A × B=B × A ⇒ 4 × 5=5 × 4=20
Ngunit sa kaso ng pagbabago ng paghahati sa pagkakasunud-sunod ay nagbibigay ng kapalit ng isa, at sa pagbabawas ang pagbabago ay nagbibigay ng negatibo ng isa. Samakatuwid, A – B ≠ B – A ⇒ 4 – 5=-1 at 5 – 4=1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5=0.8 at 5 ÷ 4=1.25 [sa kasong ito A, B ≠ 1 at 0]
Sa katunayan, ang pagbabawas ay sinasabing anti-commutative; kung saan A – B=– (B – A).
Gayundin, ang mga lohikal na connective, ang conjunction, disjunction, implication, at ang equivalence, ay commutative din. Ang mga pag-andar ng katotohanan ay commutative din. Ang nakatakdang unyon ng mga operasyon at intersection ay commutative. Ang pagdaragdag at ang scalar product ng mga vector ay commutative din.
Ngunit hindi commutative ang vector subtraction at vector product (ang vector na produkto ng dalawang vector ay anti-commutative). Ang matrix addition ay commutative, ngunit ang multiplication at subtraction ay hindi commutative.(Ang multiplication ng dalawang matrice ay maaaring commutative sa mga espesyal na kaso, tulad ng multiplication ng isang matrix na may kabaligtaran nito o ang identity matrix; ngunit tiyak na ang mga matrice ay hindi commutative kung ang mga matrice ay hindi magkapareho ang laki)
Higit pa tungkol sa Associative Property
Ang isang binary operation ay sinasabing associative kung ang pagkakasunud-sunod ng pagpapatupad ay hindi makakaapekto sa resulta kapag may dalawa o higit pang paglitaw ng operator. Isaalang-alang ang mga elemento A, B at C at ang binary operation ⊗. Ang operasyon ⊗ ay sinasabing nauugnay kung
A ⊗ B ⊗ C=A ⊗ (B ⊗ C)=(A ⊗ B) ⊗ C
Mula sa mga pangunahing arithmetic function, tanging ang pagdaragdag at ang multiplikasyon ay nauugnay.
A + (B + C)=(A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3)=(5 + 4) + 3=12
A × (B × C)=(A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3)=(5 × 4) ×3=60
Ang pagbabawas at paghahati ay hindi nauugnay;
A – (B – C) ≠ (A – B) – C ⇒ 4 – (5 – 3)=2 at (5 – 4) – 3=-2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3)=2.4 at (5 ÷ 4) ÷ 3=0.2666
Ang logical connective disjunction, conjunction, at equivalence ay associative, gayundin ang set operations union at intersection. Ang pagdaragdag ng matrix at vector ay nag-uugnay. Ang scalar product ng vectors ay associative, pero ang vector product ay hindi. Ang pagpaparami ng matrix ay nauugnay lamang sa mga espesyal na pangyayari.
Ano ang pagkakaiba ng Commutative at Associative Property?
• Parehong nag-uugnay na ari-arian at ang commutative na ari-arian ay mga espesyal na katangian ng mga binary na pagpapatakbo, at ang ilan ay nakakatugon sa mga ito at ang ilan ay hindi.
• Ang mga katangiang ito ay makikita sa maraming anyo ng algebraic operations at iba pang binary operations sa matematika, gaya ng intersection at unyon sa set theory o ang logical connectives.
• Ang pagkakaiba sa pagitan ng commutative at associative ay ang commutative property ay nagsasaad na ang pagkakasunud-sunod ng mga elemento ay hindi nagbabago sa huling resulta habang ang nag-uugnay na property ay nagsasaad, na ang pagkakasunud-sunod kung saan ang operasyon ay isinagawa, ay hindi nakakaapekto sa huling sagot.
