Riemann Integral vs Lebesgue Integral
Ang Integration ay isang pangunahing paksa sa calculus. Sa isang broder na kahulugan, ang pagsasama ay makikita bilang ang kabaligtaran na proseso ng pagkita ng kaibhan. Kapag nagmomodelo ng mga problema sa totoong mundo, madaling magsulat ng mga expression na kinasasangkutan ng mga derivatives. Sa ganoong sitwasyon, kinakailangan ang integration operation upang mahanap ang function, na nagbigay ng partikular na derivative.
Mula sa ibang anggulo, ang pagsasama ay isang proseso, na nagbubuod sa produkto ng isang function na ƒ(x) at δx, kung saan ang δx ay may posibilidad na maging isang tiyak na limitasyon. Ito ang dahilan kung bakit, ginagamit namin ang simbolo ng pagsasama bilang ∫. Ang simbolo na ∫ ay sa katunayan, kung ano ang nakukuha natin sa pamamagitan ng pag-unat ng mga titik s upang tumukoy sa kabuuan.
Riemann Integral
Isaalang-alang ang isang function na y=ƒ(x). Ang integral ng y sa pagitan ng a at b, kung saan ang a at b ay kabilang sa isang set x, ay isinusulat bilang b ∫ a ƒ(x) dx=[F (x)] a → b =F (b) – F (a). Ito ay tinatawag na isang tiyak na integral ng iisang pinahahalagahan at tuluy-tuloy na function y=ƒ(x) sa pagitan ng a at b. Nagbibigay ito ng lugar sa ilalim ng kurba sa pagitan ng a at b. Tinatawag din itong Riemann integral. Ang integral ng Riemann ay nilikha ni Bernhard Riemann. Ang integral ng Riemann ng tuluy-tuloy na function ay nakabatay sa sukat ng Jordan, samakatuwid, ito ay tinukoy din bilang limitasyon ng Riemann sums ng function. Para sa isang real valued function na tinukoy sa isang closed interval, ang Riemann integral ng function na may kinalaman sa isang partition x1, x2, …, x n na tinukoy sa pagitan [a, b] at t1, t2, …, t n, kung saan ang xi ≤ ti ≤ xi+1 para sa bawat i ε {1, 2, …, n}, Riemann sum ay tinukoy bilang Σi=o hanggang n-1 ƒ(ti)(xi+1 – xi).
Lebesgue Integral
Ang Lebesgue ay isa pang uri ng integral, na sumasaklaw sa iba't ibang uri ng mga kaso kaysa sa Riemann integral. Ang integral ng lebesgue ay ipinakilala ni Henri Lebesgue noong 1902. Ang pagsasama ng Legesgue ay maaaring ituring bilang isang paglalahat ng pagsasama ng Riemann.
Bakit kailangan nating mag-aral ng isa pang integral?
Isaalang-alang natin ang katangiang function ƒA (x)={0 kung, x hindi ε A1 kung, x ε Asa isang set A. Pagkatapos ay may hangganan na linear na kumbinasyon ng mga katangiang function, na tinukoy bilang F (x)=Σ ai Ang ƒ E i(x) ay tinatawag na simpleng function kung ang E i ay nasusukat para sa bawat i. Ang integral ng Lebesgue ng F (x) sa ibabaw ng E ay tinutukoy ng E∫ ƒ(x)dx. Ang function na F (x) ay hindi Riemann integrable. Samakatuwid, ang integral ng Lebesgue ay muling parirala ang Riemann integral, na may ilang mga paghihigpit sa mga function na isasama.
Ano ang pagkakaiba ng Riemann Integral at Lebesgue Integral?
· Ang Lebesgue integral ay isang generalization form ng Riemann integral.
· Ang integral ng Lebesgue ay nagbibigay-daan sa mabibilang na infinity ng mga discontinuities, habang ang Riemann integral ay nagbibigay-daan sa isang may hangganang bilang ng mga discontinuities.
