Orthogonal vs Orthonormal
Sa matematika, ang dalawang salitang orthogonal at orthonormal ay kadalasang ginagamit kasama ng isang set ng mga vector. Dito, ang terminong 'vector' ay ginagamit sa kahulugan na ito ay isang elemento ng isang vector space - isang algebraic na istraktura na ginagamit sa linear algebra. Para sa aming talakayan, isasaalang-alang namin ang isang panloob na espasyo ng produkto – isang vector space V kasama ng isang panloob na produkto na tinukoy sa V.
Bilang halimbawa, para sa isang panloob na produkto, ang space ay ang hanay ng lahat ng 3-dimensional na position vector kasama ng karaniwang tuldok na produkto.
Ano ang orthogonal?
Ang isang walang laman na subset S ng isang panloob na espasyo ng produkto V ay sinasabing orthogonal, kung at kung para sa bawat natatanging u, v sa S, [u, v]=0; i.e. ang inner product ng u at v ay katumbas ng zero scalar sa inner product space.
Halimbawa, sa hanay ng lahat ng 3-dimensional na position vector, ito ay katumbas ng pagsasabing, para sa bawat natatanging pares ng position vectors p at q sa S, p at q ay patayo sa isa't isa. (Tandaan na ang inner product sa vector space na ito ay ang dot product. Gayundin, ang dot product ng dalawang vectors ay katumbas ng 0 kung at kung ang dalawang vectors ay patayo sa isa't isa.)
Isaalang-alang ang set S={(0, 2, 0), (4, 0, 0), (0, 0, 5)}, na isang subset ng 3-dimensional na mga vector ng posisyon. Obserbahan na (0, 2, 0).(4, 0, 0)=0, (4, 0, 0).(0, 0, 5)=0 at (0, 2, 0).(0, 0)., 5)=0. Kaya, ang set S ay orthogonal. Sa partikular, ang dalawang vector ay sinasabing orthogonal kung ang kanilang panloob na produkto ay 0. Samakatuwid, ang bawat pares ng mga vector sa Sis orthogonal.
Ano ang orthonormal?
Ang isang walang laman na subset S ng isang panloob na espasyo ng produkto V ay sinasabing orthonormal kung at kung ang S ay orthogonal at para sa bawat vector u sa S, [u, u]=1. Samakatuwid, makikita na bawat orthonormal set ay orthogonal ngunit hindi vice versa.
Halimbawa, sa set ng lahat ng 3-dimensional na position vector, ito ay katumbas ng pagsasabi na, para sa bawat natatanging pares ng position vectors p at q sa S, p at q ay patayo sa isa't isa, at para sa bawat p sa S, |p|=1. Ito ay dahil ang kundisyon [p, p]=1 ay bumababa sa p.p=|p||p|cos0=|p|2=1, na katumbas ng |p |=1. Samakatuwid, dahil sa isang orthogonal set maaari tayong palaging bumuo ng katumbas na orthonormal set sa pamamagitan ng paghahati sa bawat vector sa magnitude nito.
Ang T={(0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)} ay isang orthonormal subset ng set ng lahat ng 3-dimensional na position vector. Madaling makita na ito ay nakuha sa pamamagitan ng paghahati sa bawat isa sa mga vector sa set S, sa kanilang mga magnitude.
Ano ang pagkakaiba ng orthogonal at orthonormal?
- Ang isang walang laman na subset S ng isang panloob na espasyo ng produkto V ay sinasabing orthogonal, kung at kung para lamang sa bawat natatanging u, v sa S, [u, v]=0. Gayunpaman, ito ay orthonormal, kung at kung may karagdagang kundisyon – para sa bawat vector u sa S, [u, u]=1 ang nasiyahan.
- Anumang orthonormal set ay orthogonal ngunit hindi vice-versa.
- Anumang orthogonal set ay tumutugma sa isang natatanging orthonormal set ngunit ang isang orthonormal set ay maaaring tumugma sa maraming orthogonal set.
